Bitcoin-Blöcke, die Lebenserwartung und der Fehlschluss des Spielers

Roter Würfel. Bild von Steve Johnson via flickr.com. Lizenz: Creative Commons

Eine Wette zwischen Peter Rizun und Craig Wright führt zu einem häufigen mathematischen Fehlschluss. Der findet sich nicht nur in der Blockproduktion bei Bitcoin, sondern auch in der Berechnung der Lebenserwartung von Menschen in einem bestimmten Lebensalter. Damit könnte ein Streit, bei dem es vor allem ums Ego ging, helfen, über einen typischen Fehlschluss des gesunden Menschenverstands aufzuklären.

Irgendwann im Jahr 2017 haben sich Peter Rizun, der Chefwissenschaftler von Bitcoin Unlimited, und Craig Wright, der selbsternannte Satoshi, um die Mathematik des „Selfish Minings“ gestritten. Weil beide Personen nichts mehr verabschäuen, als öffentlich unrecht zu haben, zog sich der Streit immer weiter und endete schließlich in einer Wette. Die Wette ist interessant, weil sie auf eine kontraintuitive mathematische Wahrheit hinweist, die etwa auch bei der erwartbaren verbleibende Lebensspanne greift.

Der Wortlaut der Wette klingt komplizierter, als der Sachverhalt tatsächlich es ist:

„Wir nehmen an, ein ’selfish miner‘ operiert mit einem Drittel der globalen Hashrate. Zu einem Zeitpunkt t=-10 Minuten findet ein ehrlicher Miner eine Lösung für die Blockhöhe N-1. Der ’selfish miner‘ findet zum Zeitpunkt t=0 einen Block und hält ihn geheim. Was ist die erwartbare Zeit, zu der ein ehrlicher Miner einen Block mit der Höhe N findet?“ Die Antwort von Peter Rizun war 15 Minuten, die von Craig Wright 10 Minuten.

Man kann die Frage umformulieren, um das Problem einfacher zu machen, indem wir das Selfish Mining herausziehen. Alle zehn Minuten wird ein Bitcoin-Block gefunden. Wenn seit dem letzten Block fünf Minuten verstrichen sind – wie lange ist die erwartbare Zeit, bis der nächste Block gefunden wird? Craig würde fünf, Peter zehn Minuten sagen (die Zeiten haben sich geändert, da im Wortlaut der Wette der Selfish Miner ein Drittel der Hashpower abgezogen hat, weshalb die durchschnittliche Zeit zum nächsten Block von 10 auf 15 Minuten gestiegen ist).

Was meint ihr?

Auf den ersten Blick klingt das, was Craig meint, plausibel. Wenn es im Durchschnitt alle zehn Minuten einen Block gibt, und fünf Minuten verstrichen sind, dann dauert es von da an im Durchschnitt nur noch fünf Minuten, bis ein Block gefunden wird. Logisch, oder? Die gleiche Logik sagt aber auch, dass ein deutscher Mann, der heute 70 Jahre alt ist, im Durchschnitt noch 8,5 Jahre zu leben hat. Denn die durchschnittliche Lebenserwartung eines deutschen Mannes beträgt 78,5 Jahre. Auch das klingt plausibel. Das sagt schon der gesunde Menschenverstand.

Für Peter Rizun war in diesem Moment aber klar, dass Craig Wright ein Betrüger ist. Denn Satoshi wäre, meint Peter, an dieser Stelle nicht auf den sogenannten Spielerfehlschluss hereingefallen. Das ist ein mathematischer Fehlschluss, bei dem die Antwort, die intuitiv erscheint, falsch ist. Kurz darauf hat Peter Rizun begonnen, lautstark gegen Craig Wright zu agitieren. In der Folge zerbrach eine Kooperation zwischen Bitcoin Unlimited und Craigs nChain, und Peters entschlossene Parteinahme dürfte viel dazu beigetragen haben, dass sich Bitcoin Unlimited im „Hashwar“ von 2018 auf die Seite von Bitcoin ABC gestellt hat.

Aber warum? Wenn Sie sofort wussten, weshalb Peter Rizun recht haben muss, dürfen Sie sich gratulieren. Sie sind einer der wenigen Menschen, die den Spielerfehlschluss verstehen. Die meisten müssen erst einmal ein wenig darüber nachdenken.

Ein wesentlicher Punkt ist, dass Durchschnittswerte immer aus einer Grundgesamtheit bestehen. Bei der Lebenserwartung meint dies die Grundgesamtheit aller Menschen, ob sie nun 0 oder 90 Jahre alt sind. Manche davon werden älter als hundert, andere sterben mit 55, und einige Unglückliche gehen schon unter 30 von uns. Wenn nun eine Zeitreihe voranläuft – ein Mensch altert, ein Miner berechnet Hashes – kommt es zu einem Ereignis oder zu keinem Ereignis: Ein Mensch stirbt oder lebt weiter, ein Miner findet einen Block oder er findet keinen.

Mit diesen Ereignissen ändert sich die Grundgesamtheit. Wenn ein Mensch 70 Jahre alt geworden ist, dann scheiden all diejenigen, die vor 70 Jahren gestorben sind, aus der Grundgesamtheit aus. Wenn die Miner nach fünf Minuten keinen Block gefunden haben, scheiden die Ereignisse, dass ein Block in weniger als fünf Minuten nach dem letzten Block gefunden wurde, aus. Im Prinzip muss man den Durchschnitt für erwartbare Ereignisse in jeder Sekunde neu berechnen.

Wenn Sie schon älter als 50 Jahre sind, dürfen Sie sich freuen: Ihre durchschnittliche Lebenserwartung dürfte weit mehr als 78,5 Jahre betragen. Wenn ein Mann, der bereits 82 Jahre alt geworden ist, am Corona-Virus stirbt, lag er nicht sowieso schon auf dem Sterbebett, sondern verliert eine kostbare erwartbare Lebenszeit. Und wenn fünf Minuten seit dem letzten Block verstrichen sind, dann ist der nächste Block mitnichten nach fünf Minuten zu erwarten.

Anders als die Sterblichkeit ist das Mining allerdings ein Vorgang ohne Gedächtnis. Der menschliche Körper erinnert sich an jede Sekunde, in der er nicht gestorben ist. Er altert, und das erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis Sterben eintritt. Beim Mining dagegen gibt es kein Gedächtnis. Es handelt sich um ein perfekt zufälliges Ereignis. Eine Hash erinnert sich nicht an die vorangegangene Hash.

Es ist wie bei einem Würfelwurf: Wenn man einen sechseitigen Würfel wirft, ist die Wahrscheinlichkeit, ein Auge zu bekommen, immer ein Sechstel. Im Durchschnitt, bei 1000 oder 10.000 Würfen, würfelt man eine 3,5. Aber die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, ist immer ein Sechstel. Selbst dann, wenn man schon zuvor sechs oder sieben Mal geworfen hat.

In der Theorie ist es möglich, dass man zehnmal nacheinander eine Eins würfelt. Wer das Brettspiel Risiko gespielt hat, weiß, wie gemein der Zufall sein kann. Selbst die größte Armee schmilzt dahin, wenn einen die Wahrscheinlichkeit nicht liebt. Und auch wenn man beim Kartenspiel fünfzig Mal ein schlechtes Blatt hat, ist die Wahrscheinlichkeit, in der nächsten Runde ein besseres zu bekommen, kein Stückchen höher.

Genauso kann es bei Bitcoin passieren, dass auch nach zehn Minuten kein Block gefunden wird. Und nach zwanzig. Mitunter kann es auch eine Stunde oder mehr dauern, bis der nächste Block gefunden wird. Die Empirie gibt Peter Rizun recht: Die durchschnittliche Dauer bis zum nächsten Block ist in jedem Moment 10 Minuten, unabhängig davon, wann der letzte Block gefunden wurde. Das ist äußerst verblüffend, weil es dem widerspricht, was der gesunde Menschenverstand aus der Information ableitet, dass es ein durchschnittliches Intervall zwischen den Blöcken gibt. Aber es ist genauso wahr, wie dass ein Mann, der eben 78 Jahre alt wurde, im Durchschnitt noch länger als ein halbes Jahr leben wird.

Die mathematische Perspektive auf die Wette ist relativ eindeutig. Craig Wright hat den Bitcoin dennoch nicht bezahlt. Er behauptet, Peter habe ihn in die Wette hineingetrickst. Denn eigentlich ging die Diskussion um das Selfish Mining, eine in der mathematischen Theorie valide Schwäche von Bitcoin, die aber in der Praxis noch niemals gesichtet wurde. Wenn Craig daher gegen Selfish Mining argumentiert, dürfte er in der Praxis recht haben. Und man könnte auch argumentieren, dass Craig etwa angenommen hat, dass der Selfish-Miner seine Hashrate schon vorher zurückgehalten hat, womit die erwartbare Dauer zum nächsten Block tatsächlich zehn Minuten gewesen wäre.   Aber darum ging es hier nicht …

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19 Kommentare zu Bitcoin-Blöcke, die Lebenserwartung und der Fehlschluss des Spielers

  1. >Was ist die erwartbare Zeit, zu der ein ehrlicher Miner einen Block mit der Höhe N findet?“ Die Antwort von Peter Rizun war 15 Minuten, die von Craig Wright 10 Minuten.

    Peter Rizun hat den Denkfehler. Nur weil auf einmal 33% Hashpower verloren geht, ändert sich doch nicht gleich die Difficulty. Und solange ändert sich auch nichts für die ehrlichen Miner.

    • Natürlich ändert das nichts an der Difficulty.
      Aber wenn du im Schnitt 1 Mrd Hashes brauchst, um in zehn Minuten einen Block zu finden, und plötzlich ziehen 333 Millionen Hashes ab, braucht man eben im Schnitt 15 Min.

      • Und wenn nun eine verdeckte Geheimorganisation mit Alien-Quantentechnologie mal schnell 1000 Blocks in 5 Minuten generiert, dann brauchst du mit deinem „ehrlichen“ Asic Miner im Schnitt nur noch paar Sekunden für den nächsten Block?

      • Skinner // 21. April 2020 um 23:32 //

        Die Annahme, die hier anscheinend gemacht wurde, aber nicht explizit erwähnt wurde: Der selfish Miner hat sich gerade eben erst ‚zum bösen‘ gewandelt, vorher haben beide Gemeinsam mit 100% alle 10 Minuten einen Block gefunden (Difficulty ist eingeschwungen und ändert sich nicht.).

        Durchaus unkorrekt, bei solch einer Aufgabenstellung.
        Geht man davon aus dass der selfish Miner ’schon immer böse ist‘ und noch nie ein Block veröffentlicht hat, hat sich die Difficulty auf den ehrlichen Miner angepasst und 10 Minuten wären korrekt.

      • Ja, wenn der selfish Miner schon immer böse war. Das Szenario geht soweit ich weiß nicht davon aus.

      • Na weil es dieselbe Logik wäre. Anstatt Hashes abzuziehen, steigt die Rate durch geheimgehaltene Alientechnologie. Laut Peter müsste sich dann die Wartezeit im Schnitt für alle Miner verkürzen. Was offensichtlich quatsch ist, das gilt ja nur für den AlienMiner.

        Überhaupt ist das ganze Gedankenexperiment absolut unsinnig. Denn während Miner A (mit 33%) noch darüber nachdenkt wie er „alle anderen“ austrickst indem er seine Power geheim hält, bekommt er garnicht mit, wie er schon die ganze Zeit über von Miner B (66%) verarscht wird, der noch viel mehr seiner Blöcke zurück hält

      • Ja und nein.

        Wenn jemand Alientechnologie einsetzt, sinkt natürlich die Dauer bis zum nächsten erwartbaren Block. Aber weil der Anteil der Hashrate ohne Alientechnologie sinkt, bleibt die erwartbare Zeit für die anderen Miner gleich (bis zur nächsten Difficulty-Anpassung, dann erhöht sie sich).

        Der zweite Punkt stimmt. Ich glaube nicht, dass Selfish-Mining funktioniert. Da hat Craig schon recht.

      • Interessant, mein 2 Absatz war in Ironie-Tags gesetzt. Die wurden komplett verschluckt, obwohl das kein gültiges HTML Element ist.

  2. hmmm … Wie schon beschrieben mit den Würfeln … der Miner würfelt auch nur … die Annahme,dass alle Miner 9 Minuten lang erfolglos Würfeln, heisst nicht, dass ich nach 1 Minute Würfeln den Block finden würde ? 😉 Sprich nach jedem Wurf dauert es einfach 10 Minuten „.“ Das es früher (Glück) oder später (Pech) passiert steht in den Sternen …

  3. Paul Janowitz // 22. April 2020 um 10:48 // Antworten

    Interessante Diskussion über ein eher belangloses Thema…

    Man muss tatsächlich davon ausgehen, dass die Mining Hardware bereits vorhanden ist, denn 50% der aktuell geleisteten Hashrate Mal eben über Nacht zusätzlich aufzustellen ist utopisch und nur über eine Sinneswandlung eines bestehenden Miners möglich oder eine entsprechende Übernahme. Beides ist übrigens mit dem kommenden Halving wahrscheinlicher denn je, denn die wenigsten Miner werden wohl aus Überzeugung „böse“, eher aus Verzweiflung, wenn die Einnahmen bei gleichbleibenden Kosten wegbrechen. Dass sich der Preis beim Halving nicht eben über Nacht verdoppelt haben BCH und BSV bereits eindrucksvoll gezeigt und bevor man sie verschrottet, wird man sie wohl eher an den Meistbietenden verhökern, ohne groß nachzufragen, ob dieser gut oder böse ist…
    https://bitcoinblog.de/2018/11/22/im-schweinezyklus-wenn-mining-nicht-laenger-profitabel-ist/

    Natürlich ist die Wahrscheinlichkeit innerhalb einer Difficulty Periode immer konstant, einen Block zu finden wie eben mit den Würfeln. Aber statistisch wird bei gleichbleibender Hashrate nach 5 Minuten Mining ohne Block eher in weiteren 5 Minuten einer gefunden als in 10. Das ist beim Würfeln genauso, bei einem perfekten Würfel wird sich die Verteilung einpendeln, wenn man lange genug würfelt, obwohl man beim Mining sieht, dass selbst bei Milliarden von Hashes die Wahrscheinlichkeit nicht unbedingt konstant ist…

    Generell sehe ich Selfish Mining bzw. den Missbrauch der Mining Power bei BCH und BSV viel höher als bei BTC, zum einen da die Hashrate einfach im Vergleich verschwindend gering ist, zum anderen sehe ich insbesondere bei BSV keinen rationalen Anreiz für Miner, große Blöcke zu generieren, wenn man regelmäßig Blöcke mit ca. 30MB sieht, die gerade einmal 20 Dollar Fees einbringen und mit jedem MB steigt die Wahrscheinlichkeit eines Orphans und den Verlust des kompletten Coinbase Rewards von auch nach dem Halving über 1.000 Dollar. Man sieht teilweise auch BSV Miner, die nur Transaktionen ab einem bestimmten Fee Level aufnehmen und die Blöcke relativ leer halten… Das ist auch Selfish Mining, da man das Netzwerk nur bedingt unterstützt und Transaktionen bestätigt, der User weiß ja nicht, wer den nächsten Block findet und wie viel Fee dafür verlangt wird. Auch die Hashrate Schwankungen bei BCH sind eine Form des Selfish Minings und destabilisieren das Netzwerk, da für User kaum nachvollziehbar ist, ob ein Block potenziell in weniger als 10 Minuten erscheint oder eher in mehr als 30 Minuten…

  4. Eine weitere Wette:
    Wenn nach x Minuten ein Block gefunden wurde, bekomme ich 10€, ansonsten muss ich 10€ bezahlen.

    Die magische Grenze ab der ich das annehmen würde wären nicht 10, sondern 7 Minuten.
    Ich hoffe ich habe Richtig gerechnet und mache mich damit nicht Arm, aber ein erste Stichprobe sah gut aus 😀

    • Ich glaube, die Wette geht gut für dich aus.

      Im Durchschnitt gibt’s alle zehn Min einen Block, d.h. die Intervalle müssen entweder weniger als 10 Min sein oder mehr. Weil mehr auch mal 40 Minuten bedeuten kann, als Durchschnitt + 30, aber die kürzeren Intervalle maximal Durchschnitt – 10, müsste es mehr Blöcke unter als über zehn Min geben.

      • Skinner // 22. April 2020 um 15:40 //

        Genau so auch mein Gedanke, was also auch Bedeutet, wenn dich jemand Fragt „Wann kommt der nächste Block“ Antwortet man: In spätestens 7,5 Minuten. Im Durchschnitt liegt man falsch, aber in mehr als der hälfte der Fälle richtig.
        Und zwar egal wann jemand fragt.

        (Der genaue Grenzwert wäre ln(2)/0.1, also 6,93 Minuten)
        Ich mag die Spielermatheamatik, anschaulichstes Beispiel um Statistik zu lernen 😀

      • Michael. // 22. April 2020 um 16:56 //

        Ganz ohne Kenntnis der Verteilung würde ich hier besser nicht wetten. Angenommen ein Block wird mit einer Wahrscheinlichkeit von je 20% nach 8, 9, 10, 11 oder 12 Minuten gefunden, dann wird im Durchschnitt nach 10 Minuten ein Block gefunden und Du verlierst zu 100% Deinen Wetteinsatz 🙂

    • Ich gehe von einer einer Exponentialverteilung mit lamda=0.1 (Also Erwartungswert 10) aus, und hoffe das stimmt ausreichend gut. Aber ein bisschen Nervenkitzel muss beim Wetten ja auch dabei sein 😀

      • Michael. // 22. April 2020 um 19:10 //

        Deine Überlegungen waren natürlich richtig, Skinner, nur Christophs Begründung war mathematisch nicht ganz wasserdicht :-). Das Mining ist ein klassisches Beispiel für eine geometrische Verteilung. Hier liegt der Median (wie Du ja auch ausgerechnet hast) ein gutes Stück unter dem Erwartungswert. Du solltest also Max beim Wort nehmen … 🙂

  5. @Skinner:
    Die Wette nehme ich gerne an. Gerne auch für 8 Minuten

  6. Je nach ‚Grösse‘ des Miners sollte der Hashprozess nicht mehr unabhängig sein (non-Markov) , das 1) es ist im Computer-Raum > alles deterministisch
    2) der (Entropie) Raum des nächsten richtigen Hashs reduziert sich evtl genügend mit jeder im Prozess gewonnen Information zum falschen Hash (Zufall ziehen, OHNE zurücklegen)

    Dies sollte ein grosser Miner ausnutzen können, um nach 5min Info-Sammlung schneller an den richtigen Hash zu kommen. Möglicherwiese ist das aber nicht Signifikant

    Am Ende: Das Problem ist nicht genügend stark definert – keiner Gewinnt 😉

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