Bitcoin-Blöcke, die Lebenserwartung und der Fehlschluss des Spielers

Eine Wette zwischen Peter Rizun und Craig Wright führt zu einem häufigen mathematischen Fehlschluss. Der findet sich nicht nur in der Blockproduktion bei Bitcoin, sondern auch in der Berechnung der Lebenserwartung von Menschen in einem bestimmten Lebensalter. Damit könnte ein Streit, bei dem es vor allem ums Ego ging, helfen, über einen typischen Fehlschluss des gesunden Menschenverstands aufzuklären.

Irgendwann im Jahr 2017 haben sich Peter Rizun, der Chefwissenschaftler von Bitcoin Unlimited, und Craig Wright, der selbsternannte Satoshi, um die Mathematik des „Selfish Minings“ gestritten. Weil beide Personen nichts mehr verabschäuen, als öffentlich unrecht zu haben, zog sich der Streit immer weiter und endete schließlich in einer Wette. Die Wette ist interessant, weil sie auf eine kontraintuitive mathematische Wahrheit hinweist, die etwa auch bei der erwartbaren verbleibende Lebensspanne greift.

Der Wortlaut der Wette klingt komplizierter, als der Sachverhalt tatsächlich es ist:

„Wir nehmen an, ein ’selfish miner‘ operiert mit einem Drittel der globalen Hashrate. Zu einem Zeitpunkt t=-10 Minuten findet ein ehrlicher Miner eine Lösung für die Blockhöhe N-1. Der ’selfish miner‘ findet zum Zeitpunkt t=0 einen Block und hält ihn geheim. Was ist die erwartbare Zeit, zu der ein ehrlicher Miner einen Block mit der Höhe N findet?“ Die Antwort von Peter Rizun war 15 Minuten, die von Craig Wright 10 Minuten.

Man kann die Frage umformulieren, um das Problem einfacher zu machen, indem wir das Selfish Mining herausziehen. Alle zehn Minuten wird ein Bitcoin-Block gefunden. Wenn seit dem letzten Block fünf Minuten verstrichen sind – wie lange ist die erwartbare Zeit, bis der nächste Block gefunden wird? Craig würde fünf, Peter zehn Minuten sagen (die Zeiten haben sich geändert, da im Wortlaut der Wette der Selfish Miner ein Drittel der Hashpower abgezogen hat, weshalb die durchschnittliche Zeit zum nächsten Block von 10 auf 15 Minuten gestiegen ist).

Was meint ihr?

Auf den ersten Blick klingt das, was Craig meint, plausibel. Wenn es im Durchschnitt alle zehn Minuten einen Block gibt, und fünf Minuten verstrichen sind, dann dauert es von da an im Durchschnitt nur noch fünf Minuten, bis ein Block gefunden wird. Logisch, oder? Die gleiche Logik sagt aber auch, dass ein deutscher Mann, der heute 70 Jahre alt ist, im Durchschnitt noch 8,5 Jahre zu leben hat. Denn die durchschnittliche Lebenserwartung eines deutschen Mannes beträgt 78,5 Jahre. Auch das klingt plausibel. Das sagt schon der gesunde Menschenverstand.

Für Peter Rizun war in diesem Moment aber klar, dass Craig Wright ein Betrüger ist. Denn Satoshi wäre, meint Peter, an dieser Stelle nicht auf den sogenannten Spielerfehlschluss hereingefallen. Das ist ein mathematischer Fehlschluss, bei dem die Antwort, die intuitiv erscheint, falsch ist. Kurz darauf hat Peter Rizun begonnen, lautstark gegen Craig Wright zu agitieren. In der Folge zerbrach eine Kooperation zwischen Bitcoin Unlimited und Craigs nChain, und Peters entschlossene Parteinahme dürfte viel dazu beigetragen haben, dass sich Bitcoin Unlimited im „Hashwar“ von 2018 auf die Seite von Bitcoin ABC gestellt hat.

Aber warum? Wenn Sie sofort wussten, weshalb Peter Rizun recht haben muss, dürfen Sie sich gratulieren. Sie sind einer der wenigen Menschen, die den Spielerfehlschluss verstehen. Die meisten müssen erst einmal ein wenig darüber nachdenken.

Ein wesentlicher Punkt ist, dass Durchschnittswerte immer aus einer Grundgesamtheit bestehen. Bei der Lebenserwartung meint dies die Grundgesamtheit aller Menschen, ob sie nun 0 oder 90 Jahre alt sind. Manche davon werden älter als hundert, andere sterben mit 55, und einige Unglückliche gehen schon unter 30 von uns. Wenn nun eine Zeitreihe voranläuft – ein Mensch altert, ein Miner berechnet Hashes – kommt es zu einem Ereignis oder zu keinem Ereignis: Ein Mensch stirbt oder lebt weiter, ein Miner findet einen Block oder er findet keinen.

Mit diesen Ereignissen ändert sich die Grundgesamtheit. Wenn ein Mensch 70 Jahre alt geworden ist, dann scheiden all diejenigen, die vor 70 Jahren gestorben sind, aus der Grundgesamtheit aus. Wenn die Miner nach fünf Minuten keinen Block gefunden haben, scheiden die Ereignisse, dass ein Block in weniger als fünf Minuten nach dem letzten Block gefunden wurde, aus. Im Prinzip muss man den Durchschnitt für erwartbare Ereignisse in jeder Sekunde neu berechnen.

Wenn Sie schon älter als 50 Jahre sind, dürfen Sie sich freuen: Ihre durchschnittliche Lebenserwartung dürfte weit mehr als 78,5 Jahre betragen. Wenn ein Mann, der bereits 82 Jahre alt geworden ist, am Corona-Virus stirbt, lag er nicht sowieso schon auf dem Sterbebett, sondern verliert eine kostbare erwartbare Lebenszeit. Und wenn fünf Minuten seit dem letzten Block verstrichen sind, dann ist der nächste Block mitnichten nach fünf Minuten zu erwarten.

Anders als die Sterblichkeit ist das Mining allerdings ein Vorgang ohne Gedächtnis. Der menschliche Körper erinnert sich an jede Sekunde, in der er nicht gestorben ist. Er altert, und das erhöht die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis Sterben eintritt. Beim Mining dagegen gibt es kein Gedächtnis. Es handelt sich um ein perfekt zufälliges Ereignis. Eine Hash erinnert sich nicht an die vorangegangene Hash.

Es ist wie bei einem Würfelwurf: Wenn man einen sechseitigen Würfel wirft, ist die Wahrscheinlichkeit, ein Auge zu bekommen, immer ein Sechstel. Im Durchschnitt, bei 1000 oder 10.000 Würfen, würfelt man eine 3,5. Aber die Wahrscheinlichkeit, eine Eins zu würfeln, ist immer ein Sechstel. Selbst dann, wenn man schon zuvor sechs oder sieben Mal geworfen hat.

In der Theorie ist es möglich, dass man zehnmal nacheinander eine Eins würfelt. Wer das Brettspiel Risiko gespielt hat, weiß, wie gemein der Zufall sein kann. Selbst die größte Armee schmilzt dahin, wenn einen die Wahrscheinlichkeit nicht liebt. Und auch wenn man beim Kartenspiel fünfzig Mal ein schlechtes Blatt hat, ist die Wahrscheinlichkeit, in der nächsten Runde ein besseres zu bekommen, kein Stückchen höher.

Genauso kann es bei Bitcoin passieren, dass auch nach zehn Minuten kein Block gefunden wird. Und nach zwanzig. Mitunter kann es auch eine Stunde oder mehr dauern, bis der nächste Block gefunden wird. Die Empirie gibt Peter Rizun recht: Die durchschnittliche Dauer bis zum nächsten Block ist in jedem Moment 10 Minuten, unabhängig davon, wann der letzte Block gefunden wurde. Das ist äußerst verblüffend, weil es dem widerspricht, was der gesunde Menschenverstand aus der Information ableitet, dass es ein durchschnittliches Intervall zwischen den Blöcken gibt. Aber es ist genauso wahr, wie dass ein Mann, der eben 78 Jahre alt wurde, im Durchschnitt noch länger als ein halbes Jahr leben wird.

Die mathematische Perspektive auf die Wette ist relativ eindeutig. Craig Wright hat den Bitcoin dennoch nicht bezahlt. Er behauptet, Peter habe ihn in die Wette hineingetrickst. Denn eigentlich ging die Diskussion um das Selfish Mining, eine in der mathematischen Theorie valide Schwäche von Bitcoin, die aber in der Praxis noch niemals gesichtet wurde. Wenn Craig daher gegen Selfish Mining argumentiert, dürfte er in der Praxis recht haben. Und man könnte auch argumentieren, dass Craig etwa angenommen hat, dass der Selfish-Miner seine Hashrate schon vorher zurückgehalten hat, womit die erwartbare Dauer zum nächsten Block tatsächlich zehn Minuten gewesen wäre.   Aber darum ging es hier nicht …